선형대수 평면벡터와 공간벡터

vector : 새로운 수 

평면 2차 공간에서의 백터

공간 3차원 공간에서의 벡터

 

평면벡터

평면(R2) 상의 벡터는 결국 평면이란 탁자와 같이 평평한 대상, 2차원 공간에 대한 수학적 개념이다.

 

평면 2차원 벡터에서 벡터 A의 시작점을 평면의 원점에 맞춘 때, 끝점 P를 (a, b)라 하면 아래처럼 정의된다.

백터 A의 크기 |A|은 원점에서 점 (a, b)를 뜻한다

평면벡터 법칙
A+B = B+A
A+(B+C) = (A+B)+C
A+O = O+A = A
A+(-A) = (-A)+A = O
k(A+B) = kA+kB
(k+l) A = kA+lA
k(lA) = (kl) A
1A = A

벡터의 정의와 상등

R2	R3	Rn
A = (a1 , a2)	A = (a1 , a2 ,a3)	A = (a1 , a2, .... , an)
A = (a1 , a2) B = (b1 , b2) (a1 = b1 , a2 = b2) -> A = B	A = (a1 , a2 , a3) B = (b1 , b2 , b3 ) (a1 = b1 , a2 = b2 , a2 = b3) -> A = B	A = (a1 , a2 , ... , an) B = (b1 , b2 ,...., bn ) (ai = bi ) -> A = B

벡터의 크기 |A|

• 벡터의 실수곱 kA 도 동일하다.
• 벡터의 합 A+B도 동일하다.

A, B, C ∈ Rⁿ , k, l ∈ R

1. A+B = B+A   //덧셈의 교환법칙
2. A+(B+C) = (A+B)+C  // 덧셈의 결합법칙
3. A+O = O+A = A  // 덧셈의 항등원
4. A+(-A) = (-A)+A = O  // 덧셈의 역원
5. k(A+B) = kA+kB // 실수곱의 배분법칙
6. (k+l) A = kA+lA  //  실수곲의 배분법칙
7. k(lA) = (kl) A  // 실수곱의 결합법칙
8. 1A = A  // 실수곱의 항등원

직선의 방정식

두 점을 지나는 직선일 때에 P(x1, y1, z1) , Q(x2, y2, z2)의 점을 지나는 직선의 방정식을 구해보자. 임의로 해당직선에 점 X를 만들어서 X (x, y, z)가 있다고 가정하자. 그럼 P, Q, X는 모두 동일한 직선에 있는 점이 되고 방정식은 다음과 같다.

 

한 점을 지나고 방향벡터에 평행한 직선이 있다고 하자. 이 말은 결국 한 점은 주어진 방향벡터와 평행하기 때문에 구할 수 있다. 한 점을 P(x1, y1, z1)로 하고 이와 평행하는 점을 Q(x2, y2, z2)라고 하면 기본적으로 Q를 O점으로 놓고 봐서 Q가 평행이기 때문에 점 P가 속한 직선에 임의에 X점을 대입할 수 있다. 그럼 식은 다음과 같다.

벡터의 내적

Rⁿ공간의 두 벡터를 A=(a₁ , a2,.... , a_n) , B= (b₁ , b2,.... , bn)이라고 할 때, 벡터 A와 벡터 B의 내적을 A·B=a1 b1 + a2 b2 + anbn으로 정의한다.

내적의 성질
1) A·B=B·A 교환법칙
2) A·(B+C) = A·B + A·C 배분법칙
3) (kA)·B = k(A·B) = A·(kB) 결합법칙
4) A ·A = | A |² ≥0이다. A· A = 0 일필요충분 조건은 A= O이다.

백터의 내적각과 사이각

R2 나 R3에서 벡터 A와 B의 사이각을 θ라 하면 AㆍB = |A| |B| cosθ 가 성립한다

정사영 백터( 그림자 벡터)

AㆍB = |A| (|B| cosθ) = (|A| cosθ) |B|

두 벡터의 수직 조건 R²나 R3에서 영벡터가 아닌 두 벡터 A, B가 수직인 것은 AㆍB = 0 인 것과 동치이다.
※ cosθ = AㆍB /  |A| |B| 

Rn 공간 벡터의 사이각 Rⁿ 공간의 두 원소 A, B의 사이각 θ를

cosθ = AㆍB /  |A| |B| 

를 만족하는 각으로 정의한다.
※ Rn의 두 벡터 A, B가 수직인 것은 A· B = 0으로 정의

 

벡터의 외적

R³ 공간 벡터의 외적 

벡터의 외적
평행하지 않은 두 벡터 A = (a₁ , a₂ , a₃ ), B = (b₁ , b₂ , b₃ ) 모두에 수직인 벡터 중 C = (a2 b3 – a3 b2 , a3 b1 – a1 b3 , a1 b2 - a2 b1) 벡터 A, B의 외적이라 하고, C = A×B로 표시한다

※ 기본단위벡터 E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1) 
(a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1)= a E₁ + b E₂ + c E₃

외적의 성질
A, B, C ∈ R3 , k, l ∈ R 이면
(1) A×B = －(B×A)
(2) A×A = O
(3) kA×lB = kl(A×B)
(4) A×(B + C) = (A×B) + (A×C)

외적의 크기를 구하는 방법
| A×B|= | A| | B| sinθ 
외적의 크기는 B의 위치에서 A의 직각으로 내려오는 선이기 때문에 A와 B의 내적은 사각형의 크기가 그려지기에 여기에 높이를 높이를 대입하면 정육면체 부피를 구할 수 있다.
평행육면체의 부피
(A×B) ∙ C = |A×B||C|cosθ


내적의 크기를 구하는 방법과 비교 
AㆍB = |A| |B| cosθ