선형대수 벡터공간

체(field)

유리수 집합, 실수집합, 복소수집합

연산에 생각한다면 사칙연산 + , - , *, / 를 생각할 수 있다 좀 더 나아가 뺄셈과 나눗셈은 결국 덧셈과 곱셈의 역연산이다.

a-b = a+(-b), a/b = a·b^-1

 

집합 F의 원소를 k, l, m으로 표시할 때에 집합 F가 두 연산 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있고(연산해도 실수가 된다는 뜻)
다음의 성질을 만족할 때 집합 F를 체라고 한다.
체의 원소는 스칼라라고 한다.
(1) k + l = l + k
(2) k + (l + m) = (k + l) + m
(3) ∀k ∈ F, ∃0 ∈ F  k + 0 = k
(4) ∀k ∈ F, ∃-k ∈ F 라면 다음이 성립한다. k + (-k) = 0
(5) k· l = l· k
(6) k· (l· m) = (k· l)· m
(7) ∀k ∈ F, ∃1 ∈ F 라면 다음이 성립한다.
t k· 1 = k
(8) ∀k(≠ 0)∈ F, ∃ k -1 ∈ F 이면 다음이 성립한다. k· k -1 = 1
(9) k· (l + m) = (k· l) + (k· m)

체란 집합 F가 있고 연산 덧셈과 곱셈이 있다.
V를 체 F위의 정의된 벡터공간이라고 하고 V의 원소를 벡터라고 한다면,
V는 덧셈(+)에 관하여 닫혀있고 다음을 만족한다.
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
∀A ∈ V, ∃O ∈ V such that A + O = A
∀A ∈ V, ∃-A ∈ V such that A + (-A) = O
V는 곱셈(•)에 관하여 닫혀있고 다음을 만족 
(kl)•A = k•(l•A)
k•(A + B) = k•A + k•B 
(k + l)•A = k•A + l•A
1•A = A

체 F₂

_{F = { 0,1 }에 다음과 같은 덧셈과 곱셈의 정의가 되었을 때 F가 체임을 보여라.} 

_{이거를 이해하는데 굉장히 오래걸렸습니다.}

+	0	1		·(곱셈)	0	1
0	0	1		0	0	0
0	1	0		0	0	1

_{덧셈은 다음과 같다.}

INPUT		OUTPUT
A	B	A XOR B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

곱셈은 AND가 되는데 다음과 같다.

INPUT		OUTPUT
A	B	A  AND B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

체 Q(√ 2 )

집합 Q(√ 2 )={a+b√ 2  | a, b는 유리수}라고 놓고 Q(√ 2  )에 대한 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의하면  Q(√ 2 )가 체가 됨을 보여보자.

p = a+b√ 2 , q = c + d√ 2 일 때 p + q = (a+c) + (b+d)√ 2  

p · q = (ac + 2bd) + (ad + bc) √ 2 

 

벡터공간

행렬집합 M_mn(R)

원소가 실수인 m×n 행렬 전체 집합 Mmn(R)은 체를 실수 집합 R로 선택하고 벡터공간의 두 연산(합과 곱)을 각각 ‘행렬의 합’과 ‘행렬의 스칼라 배’로 정의하면 벡터공간이 된다.

행벡터 공간 및 열벡터 공간

위에서 m = 1인 경우 M_1n(R)를 n차 행벡터 공간이라 한다. M_1n(R) = { ( a₁ a₂ … a_n ) | a_i ∈ R }

반대로 n이 1인경우는 M_m1(R) 열벡터공간이라고 한다.

다항식의 전체집합 P(R)

집합 V를 실수 R에 정의된 다항식 전체의 집합 그리고 V의 원소 p(x), q(x)가 다음과 같다고 할 때

V는 실수체 위에 정의된 벡터 공간이 된다.

p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m ( a_i ∈ R )
q(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + … + b_nxⁿ ( b_j ∈ R )

연속함수 전체의 집합 C(R)

집합 C를 정의역과 공변역이 실수인 연속함수 전체의 모임이라 하면 C는 실수체 위의 정의된 벡터공간이다.

C = { f : R → R | f는 연속함수}

f, g ∈ C, k ∈ R (f+g)(x) = f(x) + g(x) (k•f)(x) = kf(x)로 정의하면 C는 만족한다.

 

벡타공간에서의 부분공간

V를 체 F위의 벡터공간이라 한다면, V의 부분집합 S가 다음 두 가지 성질을 만족하면 집합 S를 벡터공간 V의 부분공간이라 한다.

(1) A, B ∈S 이면 A + B ∈S이다.
(2) A ∈S, k ∈F 이면 kA ∈S 이다.
S가 덧셈과 곱셈에 관해 닫혀있다
A, B ∈S, k, l ∈F 이면 kA + lB ∈S 이다.
V는 < V, +, •, F >
S는 < S, +, •, F >
S <V S는 V의 부분이다.

예제로 

벡터공간 R3의 부분집합 S가 S = { (x, y, 0) | x, y ∈ R }이라면 S는 R3의 부분공간임을 증명해야 한다.

S의 임의의 두 원소 A = ( a, a+1 ), B = ( b, b+1 )에 대해 A + B = ( a+b, a+1+b+1 ) = ( a+b, a+b+2 )는 S +2이기 때문에 부분공간이 아니다.