선형대수 선형변환

→선형변환

사상 T에 대응하는 행렬

사상 T : R² → R³가 다음과 같을 때 T(x, y) = (x + y, x – y, 2x + y) T는 다음과 같이 행렬로 표현할 수 있다.

 

행렬 M을 사상 T에 대응하는 행렬.

사상 T : R^m → Rⁿ를 행렬로 대응시킬 수 있을 때 T를 행렬 사상 또는 행렬 변환이라고 한다.

행렬 사상의 성질

사상 T : R^m → ⁿ 가 행렬 M에 대응된다고 한다면, ∀A, B ∈ Rm, ∀k ∈ R 이면,
(1) T(A + B) = T(A) + T(B)
(2) T(kA) = kT(A)

선형 변환

V,W 는 벡터 공간이 이고 T:V →  W : 사상이면, ∀A, B ∈ Rm, ∀k ∈ R을 만족하면 T를 V에서 W로의 선형변환이라고 한다.

(1) T(A + B) = T(A) + T(B)
(2) T(kA) = kT(A)

(선형변환은 두 개의 연산을 보존하는 사항이고 일차결합도 보존한다. T(kA + lB) = T(kA) + T(lB) = kT(A) + lT(B) )

T : V → W : 선형변환 ∀A, B ∈ V에 대해
(1) T(O) = O
(2) T(-A) = -T(A)
(3) T(A – B) = T(A) – T(B)

 

사상 T : R^m → Rⁿ 가 선형변환 ↔ T에 대응되는 행렬 M이 M = ( T(E₁) T(E₂) … T(E_m) )으로 표시되는 것이고

여기서, E₁ , E₂ , … , E_m 은 R^m의 기본벡터들 [표준기저] T(E_i)는 열벡터이다.

선형변환의 합성

S : U → V , T : V → W : 선형변환 ∀A ∈ U에 대해 T◦S(A) = T(S(A))로 정의한다. 그러면 T◦S : U → W는 선형변환이다.

선형변환의 기본성질

일차결합의 보존

T : V → W : 선형변환일 때, ∀A₁, A₂, …, A_b ∈ V, ∀k₁, k₂, …, k_n ∈ R에 대해 T(k₁A₁ + k2 A2 + … + k_nA_n)
= k₁T(A₁) + k₂T(A₂) + … + k_nT(A_n)

 

기저의 상으로 선형변환 결정

T : V → W : 선형변환 A틸타(A의 위 물결표시) = { A₁, A₂, …, A_n } : V의 한 기저,
∀B_i ∈ W ( i = 1, 2, …, n)에 대해 T(A_i) = Bi를 만족하는 선형변환이 유일하게 존재한다.

 

부분공간의 보존

T:V → W : 선형변환, V' < V → T(V') < W 이에 따라 

T : V → W : 선형변환 → T(V) < W

 

일차독립성의 보존

 

T : V → W : 선형변환
∀ A₁, A₂, …, A_n ∈ V에 대해
모든 T(A_i) ( i = 1, 2, …, n)가 W에서 일차독립
A_i ( i = 1, 2, …, n)도 V에서 일차독립
※ 순방향의 일차독립보존은
T가 단사일 때 성립

 

선형변환의 전체의 집합은?

S, T : V → W : 선형변환 →  ∀A ∈ V, ∀k ∈ R에 대해 S+T와 kT 정의한다.
(S+T) (A) = S(A) + T(A)
(kT) (A) = kT(A)

사상 S+T와 kT는 V에서 W로 선형변환

 

L(V, W) : V에서 W로의 선형변환 전체의 집합, 즉, L(V, W) = { T | T : V → W는 선형변환 } , L(V, W)는 벡터공간이다.

핵과 상

부분공간의 보존

T ∈ L(V, W) , W’ < W → T-1(W’) < V
※ T-1(W’) = { A∈ V | T(A) ∈ W’ }

선형변환의 핵

T ∈ L(V, W) , T^-1(O) = { A∈V | T(A) = O }
→ T의 핵(kernel), 영공 간. Ker(T)로 표기

 

T∈L(R², R³), T(x, y) = (0, 0, x+y), Ker(T) =?

Ker(T) = { A∈R2 | T(A) = O }
= { (x, y)∈R2 | T(x, y) = (0, 0, x+y) = (0, 0, 0)}
= { (x, y) | x+y = 0 }
= { (x, -x) | x∈R}
= { x(1, -1) | x∈R}

 

일차독립성의 보존

T ∈ L(V, W), Ker(T) = {O} 일 때, A₁, A₂, …, A_m (∈ V)이 V에서 일차독립이면  T(A_i) ( i = 1, 2, …, n)가 W에서 일차독립

 

차원공식

T ∈ L(V, W) 일 때
dim V = dim Im(T) + dim Ker(T)

이에 따라 T ∈ L(V, W), dim V = dim W, Ker(T) ={O} ,→ T는 전사 (즉, T(V) = Im(T) = W )

 

T∈L (Rm, Rn) , M = ( T(E1) T(E2) … T(Em) ) → dim T(Rm) = dim Im(T) = rank(M)

 

문제

T∈L (R2, R3), T(x, y) = (x+y, x-y, 2x)
dim Im(T) =?, dim Ker(T) = ?

 

T ∈ L(V, W)
T는 단사 ↔ Ker(T) = {O} ⇒ ∀A ∈ Ker(T) ⇒ A = O!
T(A) = O ; T(O) = O (∵T는 선형변환)
⇒ A = O (∵ T가 단사)
( ) T(A) = T(B) ⇒ A = B !
T(A) = T(B) ⇒ T(A-B) = O
⇒ A-B = O (∵ Ker(T) = {O} )
⇒ A = B

 

T ∈ L(V, W)
(1) 기저의 보존
T가 단사, = { A1, …, An} 가 V의 기저 ⇒ = {T(A1), …, T(An)} 가 T(V)의 기저
(2) 전사와 단사
dim V = dim W ⇒ (T가 전사 ⇔ T가 단사)

 

동형변환 , 동형공간

T ∈ L(V, W)이 전단사일 때, T를 동형변환이라고 하고 V와 W를 동형으로 모양이 같다로하고 , V ∽ W 로 표기
※ 동형변환의 성질
T ∈ L(V, W)가 동형변환
(1) Ker(T) = {O}, Im(T) = W
(2) dim V = dim W