선형대수 행렬식

행렬식

• 행렬식이란 정방행렬 A에 실수 값 하나를 대응시키는 함수
• 정방행렬 A 행렬식은  |A| 또는 detA
• 행렬식의 귀납적 정의 n차 정방행렬의 행렬식은 (n-1) 차 정방행렬의 행렬식과 관련지어 귀납적으로 정의

3차 정방행렬을 구하기 위해 2차 정방행렬을 구할 수 알아야 하고 2차 정방행렬을 구하기 위해 1차 정방행렬을 구할 수 있어야 한다.

A=(a_ij)를 n차 정방행렬이라 할때

○ A의 (i , j) 소행렬

A에서 i번째 행과 j번째 열을 제거시켜 구성되는 (n-1) 차 정방행렬

○ A의 (i , j) 소행렬식 M_ij

A의 (i , j) 소행렬의 행렬식

○ A의 (i, j) 여인수 A_ij

Aij=(-1) i+jMij

1번째 행에 의한 행렬식 |A|의 여인수전개 또는 라플라스전개

n차 정방행렬식의 행렬식을 n차 행렬식

그리고 행렬식값을 구할 때 0이 들어가 있는 행이나 열로 행렬식값을 구해도 된다.

i번째 여인수 전개와 j번쨰 여인수전개의 값은 같다. 그러므로 0의 값이 많은 열이나 행정 선택해서 구하는 것이 쉽게 행렬식값을 구하는 것이다.

행렬식의 성질

• n차 정방행렬 A=(a_ij)가 영행을 갖는다면 |A|=0(영행이라는 뜻으로 행과 열중 모두 값이 0인 것을 말한다.)이다.
• n차 정방행렬 A=(a_ij)에 기본행 연산 R를 적용하여 얻은 행렬을 B라고 하면 | B | = - | A |이다.

• n차 정방행렬 A=(a_ij)에 기본행 연산 R_i(c)를 적용하여 얻은 행렬을 B라 하면 다음이 성립한다. | B | = c| A |

• n차 정방행렬 A=(a_ij)에 기본행연산 R_ij(c)를 적용하여 얻은 행렬을 B라 하면 |B|=|A|이다.

n차 삼각행렬에서는 왼쪽상단부터 오른쪽하단 대각선에 있는 것을 모두 곱하면 행렬식이 주대각 원소의 곱이라는 말.

아.. 어렵다.. 하 B만 맞을 수 있어도 좋겠다..

행렬연산과 행렬식

• 기본행 연산 R_ij , R_i(c) , R_ij(c)에 대한 n차 기본행렬을 각각 E_ij , E_i(c) , Eij(c)라 하면 다음이 성립한다.

|E_ij| = -1

|E_i(c)| = c

|E_ij(c)| = 1

• n차 정방행렬 A에 대해 다음이 성립한다.

1) E가 n차 기본행렬이면 |EA| = |E| |A| (행렬끼리의 곱고 실수의 곱이 같다.)

2) A와 B가 행상등하면 다음을 만족하는 유한개의 n차 기본행렬 E₁ , E₂ ,....., E_k가 존재한다.

|A| = |E₁| |E2|.... |E_k| |B|

E₁, E2,... E_k가 n차 기본행렬이면 다음이 성립한다.
|E1 E2... Ek| = |E₁| |E₂|...|E_k|

• n차 정방행렬 A가 정칙행렬이기 위한 필요충분조건은 |A| ≠0 인 것이다.
• A와 B가 n차 정방행렬이면 다음이 성립한다 |AB| = |A| |B| (행렬 AB≠BA, |A+B|≠|A|+|B|는 성립하지 않는다.)

2번에서  |cA|=c|A|라고 생각하면 안된다.

 

정리

행렬식

행렬식 : 정방행렬에 실수를 대응시키는 

 

 

 

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