정칙행렬과 역행렬
일차방정식 ax=b에서 a≠0이면 a의 곱셈에 관한 역원 a-1이 존재하여 a-1을 방정식의 양변에 곱하여해 x=a-1b를 구할 수 있다.
n차 정방행렬 A에 대해 행렬 B가 존재하여을 만족할 때 A를 정칙행렬 또는 역연산이 가능한 행렬이라고 하며 B를 A의 역행렬 이라고 하고 로 나타낸다.
1. 정칙행렬의 유일성
2차 정방행렬 A, B가 아래와 같을 때 AB=BA=In이 성립하는지 계산해 보자.
위의 계산표대로 A는 정칙행렬이고 B는 A의 역행렬이 된다. 반대로 B의 입장에서 본다면 B는 역시 정칙행렬이고 B의 역행렬은 B-1(제곱) = A가 됨을 알 수 있다.
A의 역행렬을 B와 C가 있다고 가정하면
AB=BA=I , AC=CA=I이다. B=BI=B(AC)=(BA) C=IC=C 가 되기에 A의 역행렬은 하나뿐이다.
BI가 B인 이유는 I는 단위행렬이기 때문이다.
행렬에서 결국 D=ad-bc와 위치를 바꿔서 증명해 주면 위의 공식을 대입해 볼 수 있다. 그리고 2차 정방행렬 A가 정칙행렬이려면 D=ad-bc≠0 조건이 필요충분조건이다.
앞서 정의한 행렬의 거듭제곱은 정칙행렬에도 적용할 수 있다.
행렬의 거듭제곱
n차 정방행렬 A에 대해서 곱 AA가 정의되고 이는 다시 n차 정방행렬이므로
AxA≡A2, AxAx... xA≡Ak
음이 아닌 정수 r과 s에 대해서 아래와 같다
정칙행렬 A에 관해 임의 자연수 n에 대해 A-n =(A-1) n로 정의한다면, 임의정수 r과 s에 대해서도 성립함.
정행렬인지 아닌지를 결정하는 방법과 A가 정칙행렬일 때 역행렬을 구하는 방법.
2X2 행렬 A의 역행렬 구하는 공식
정칙행렬의 성질
A와 B가 n차 정칙행렬이라 하면 다음이 성립된다.
(1) A-1도 정칙행렬이며 (A-1)-1=A이다.
AA-1=A-1A=In이다
(2) AB도 정칙행렬이며 (AB)-1=B-1A-1이다.
(AB)(B-1A-1)=A(BB-1) A-1=AInA-1=AA-1=I이다.
역행렬 구하는 방법
기본행렬
- n차 단위행렬 In에 기본행 연산을 한 번만 적용하여 얻는 행렬 E를 기본행렬이라고 한다
*기본행 연산 Ri, j, Ri(c), Ri, j(c)에 대응하는 기본행렬을 각각 Ei, j, Ei(c), Ei, j(c)로 표시.
- A와 B를 nxp행렬이라고 하면 다음이 성립한다.
- A에 기본행 연산 R을 적용한 결과는 EA와 같다. 단 행렬E는 n차 단위 행렬에 동일한 기본행연산 R을 적용하여 얻은 기본행렬이다.
- A와 B가 행상등하다면 유한 개의 기본행렬 E1, E2,...., Ek가 존재하여 다음을 만족한다. A=E1, E2,... EkB
- 기본행렬은 정칙행렬이며, 그역 행렬은 동일한 종류의 기본행렬이다.
1. Ei, jEi, j=I. 따라서 (Ei, j)-1=Ei, j
2. Ei(c) Ei(c-1)=I 따라서 (Ei(c))-1=Ei(c-1)
3. Ei, j(c) Ei, j(-c)=I 따라서 (Ei, j(c))-1=Ei, j(-c)
한편 A가 정칙행렬이라면 A의 어떠한 행도 영행이 아니며 A의 어떤 열도 영열(모든 성분이 0인 것) 이 아니다.
다음은 정칙행렬의 특성이다.
- A가 n차 정방행렬일 때 다음은 서로 동치이다.
- 1) A는 정칙행렬이다.
- 2) A와 In은 행상등이다.
- A는 유한개의 n차 기본행렬들의 곱이다.
역행렬 구하는 이론
n차정방행렬 A, B, C에 대해 (A|In)과 소거행 제형 행렬 (B|C)가 행상등하면 다음이 성립된다.
1) B가 영행을 포함하면 A는 정칙행렬이 아니다.
2) 만일 B=In이면 A는 정칙행렬이고 C=A-1가 된다.
일차연립방정식과 역행렬
- 일차연립방정식 AX=B의 해
-위수
행렬 M에 대해 기본행 연산을 적용하여 형제형 행렬 R로 만들었을 때 R의 영행이 아닌 행의 수를 행렬 M의 위수라고 부른다.
-위수와 AX=B의 해와의 관계
방정식이 m개이고 미지수가 n개인 일차연립방정식 AX=B에 대해 다음이 성립한다.
- A의 위수와 (A|B)의 위수가 같기 위한 필요충분조건은 연립방정식이 해를 갖는 것이다.
- A와 (A|B)의 위수가 n과 같기 위해 필요충분조건은 연립방정식이 유일한 해를 갖는 것이다.
- 정칙행렬과 일차연립방정식
-알고리즘 비교
-정칙행렬의 성질
n차 정방행렬 A에 대한 다음 성질들은 동치이다.
- A는 정칙행렬이다.
- A는 I와 행상등하다.
- A는 유한개의 n차 기본행렬의 곱이다.
- AX=O는 오직 자명한 해만을 갖는다.
- nx1행렬 B 각각에 대해 AX=B는 유일한 해를 갖는다.
행렬방정식 AX=B의 해
A가 n차 정칙행렬이면 임의 nx1 행렬 B에 대해 행렬방정식 AX=B는 유일한 해 X=A-1B를 갖는다.
※a≠0 이면 일차방정식 ax=b는 유일한 해 x=a-1b를 갖는다.
동차연립방정식
n차 정방행렬 A가 In과 행상등하기 위한 필요충분조건은 동차연립방정식 AX=O이 오직 자명한 해만을 갖는 것이다.
정칙행렬과 역행렬이 무엇인지 설명할 수 있어야 한다.
- 일차방정식 ax=b의 해 (a≠0일 때 a-1 , 유일한 해 x=a-1b)
- 행렬방정식AX=B의 해, (A가 정칙행렬일 때 A-1 , 유일한 해 X=A-1B)
- n차 정방행렬 A에 대해 AB=BA=In을 만족하는 행렬 B가 존재할 때 A는 정칙행렬, B는 A의 역행렬
- 정칙행렬의 성질 : 역행렬은 유일하다, (A-1로 표기) , A와 B가 정칙행렬이면 A-1, AB, cA, AT도 정칙행렬 (c≠0)
주어진 행렬 A의 역행렬을 구할 수 있어야 한다.
기본행렬
단위행렬에 기본행 연산을 한 번만 적용하여 얻은 행렬( Ei, j, Ei(c), Ei, j(c))
정방행렬 A의 역행렬 구하기
(A|In)→R→(B|C)
B=In 이면 C=A , B≠In 이면 역행렬 없음.
일차연립방정식의 해법과 역행렬과의 관련성을 설명할 수 있다.
행렬방정식 AX=B의 해
위수와 AX=B의 해와의 관계 (위참조)
정칙행렬과 일차연립방정식
알고리즘비교 (일차연립방정식에 해를 구하기 위한 가우스조르단 소거법과 정칙행렬에 대응하는 역행렬 구하는 알고리즘은 사실은 같은 것이었다.)
정칙행렬의 성질을 5가지 정도 열거할 수 있다.
- A는 정칙행렬이다.
- A는 I와 행상등하다.
- A는 유한개의 n차 기본행렬의 곱이다.
- AX=O는 오직 자명한 해만을 갖는다.
- nx1행렬 B 각각에 대해 AX=B는 유일한 해를 갖는다.
