행렬과 일차연립방정식
직사각형 형태로 수, 기호, 수식 등을 배열한 것을 행렬이라고 한다. 행렬을 배우는 이유는 앞서 일차연립방정식에서 가우스 소거법을 통해 미지수의 값을 구했는데. 이는 결국 행렬에서도 동일하게 적용이 가능하다는 것을 뜻한다.
결국 일차연립방정식과 행렬에서의 표현은 같기에 가우스 소거법을 적용할수가 있다.
mxn행렬은 다음 그림과 같다.
위의 행렬은 (1≤i≤m, 1≤j≤m)의 행렬이다. 크거나 같다가 저표시가 맞는지 모르겠군요.
n원 일차연립방정식의 행렬표현
계수행렬은 미지수 앞에 있는 계수를 행렬로 표현한 것이고 미지수행렬은 미지수를 행렬로 모은 것이고, 상수행렬은 저런 값을 나타내고 AlB로 표시한다.
n차연립방정식의 가우스 소거법으로 표현한 행렬을 보면 위와 같다. 하다보니까느낀건데 이거는 결국 첫 번째 행은 x의 계수를 1로 놓는 거고 그다음에는 두 번째 미지수 계수를 1로 놓고 가 다음행에는 마지막미지수 계수를 0으로 만드는 거네? 아직은 왜이게 필요한지는 모르겠지만.
기본행 연산
행렬에 관한 3가지 기본연산
- 두 행을 교환한다. - Ri, j i번째행과 j번째행을 교환한다.
- 한 행에 0이 아닌 상수를 곱한다. Ri(c)
- 한 행에 임의의 상수를 곱하여 다른 행에 더한다. Ri, j(c)
행상등
행렬 A에 기본행 연산을 적용하여서 행렬 B를 얻을 수 있는 경우에 A와 B는 행상등이다.
A → A1 → A2 →... → B
그렇다면 일차연립방정식 A와 B에 대한 각각 확대행렬을 C와 D라고 했을 때 C와 D가 행상등하면 A와 B도 상 등하고 할 수 있다.
결국 일차방정식에 소거법을 확대행렬로 했을 때 관계는 위와 같다. 즉 두 개는 결국 같은 것을 알기 위해 공부를 했던 것이지.
형제형 행렬 (위의 그림에 확대행렬이 소거행제형행렬이다.)
- 영행이 있다면 그것은 영행이 아닌 행의 아래에 있다.
- 영행이 아닌 행의 첫 번째 0 아닌 원소를 행의 선도원소라고 할 때 모든 선도 원소는 1이다.
- 영행이 아닌 연속된 두 행이 있어 각각 i번째 행과 i+1번째 행이라 할 때 i번쨰 행의 선도원소는 i+1번째 행의 원소보다 왼쪽에 있다. (위그림처럼 오른쪽으로 내려가는 계단모양을 떠올리면 된다.)
소거행제형행렬
형제형행렬이면서 i번째 행의 선도원소가 j번째 열에 있다면 j번내 다른 모든 원소는 0이다.
형제형행렬과 소거행제형행렬예시
가우스 소거법
형제형 행렬을 구한 다음에 후진대입법을 사용
가우스소거법
- 행렬 A와 B로부터 확대행렬 C=(A|B)를 구성한다
- 기본행 연산을 적용하여 C를 형제형으로 변환한다.
- 후진대입을 이용해 해를 구한다.
2단계 형제형에서 얻은 행렬에서 선도 원소가 속한 열에 대응하는 미지수를 선도변수라고 하고 그 외 미지수를 자유변수라고 한다.
후진대입법
- 각각의 자유변수를 임의의 매개변수로 둔다.
- 영행이 아닌 행중 가장 밑에 있는 행을 찾고 그 위치를 i번째라고 한다.
- i번째행인 가장 아래 있는 행에 선도변수에 관해 푼다.
- i번째행에 선도변수를 풀면 그 위에 행에 미수를 대입해서 풀어나간다.
가우스-조르단 소거법
소거행 제형 행렬을 구하여 바로 해를 구함
가우스-조르단 소거법
- 계수행렬 A와 상수행렬 B로부터 확대행렬 C=(A|B)를 구한다.
- 기본행 연산을 이용하여 C를 소거행 제형 행렬 D로 변환한다.
- 자유변수 각각을 임의의 매겨변수로 둔다.
- 행렬 D의 0이 아닌 각 행을 선도변수에 대해 푼다.
선도원소의 위쪽 원소를 모두 0으로 만들면 된다.
