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행렬연산 기본 개념
A를 mxn행렬이라 하면, A의 i번째 행의 j번째 원소를 A=(aij)로 표시한다.
(1≤i≤m, 1≤j≤n). m=n이면 A를 차수가 n인 정방행렬 또는 n차 정방행렬이라고 하고 이때 모든 (i, i) 원소를 A의 주대각 원소라고 한다.
A는 3X3인 정방 행렬이다. i=j가 같은이 주대각원소이다.
B는 행의 수가 하나인 행벡터, C는 열의 수가 하나인 열벡터 행렬이다.
A=(aij)를 n차 정방행렬이라고 하면 i≠j를 만족하는 모든 원소에 값이 0일 때 대각행렬이라고 한다.
i <j에 값이 모두 0일 때는 하삼각행렬이라고 하고 i>j의 값의 원소가 모두 0일때 상삼각행렬이라고 한다.
정방행렬 중 주대각 원소의 값이 모두 동일한 대각행렬을 스칼라 행렬이라하고 정방행렬중 주대각원소가 모두 1인 대각행렬을 특히 단위행렬이라고 한다.
E는 i <j인 원소가 모두 0이므로 하삼각행렬이고, F는 i> j인 원소가 모두 0이므로 상삼각 행렬이다.
G는 대각행렬이면서 하삼각행렬, 상삼각행렬의 특징모두 있다. 거기에 주대각 원소값이 모두 같은 스칼라행렬이다. 대각 행렬은 결국 하, 상삼각행렬의 특징을 모두 가지고 있는 것을 말한다.
H와 같은 모든 원소의 값이 0 이면 영행렬이라고 하고 대각행렬이면서 주대각원소의 값이 모두 같은 스칼라 행렬이다.
I는 대각행렬이면서 주대각원소의 값이 모두 1인 단위행렬이다.
A=(aij), B=(bij) mxn인 두행렬의 모든 aij=bij인 경우에는 두행렬은 서로 같다 또는 상 등하다.
행렬의 합
두 수를 더하면 수가 되는 것과 마찬가지로 두 행렬의 더한 결과 역시 행렬이 되는 것은 자연스럽다. 하지만 행렬의 합은 우선 행렬의 크기가 같은 경우를 전제로 한다. 그리고 같은 원소 위치에 두 개의 값을 더한 값을 놓는다.
A=(aij), B=bij)를 mxn행렬이라 하면 두 행렬 A, B의 합은 mxn행렬 C=(cij)로
cij=aij+bij 두행렬의 합은 A+B=C로 나타낸다.
결국 위의 증명을 행렬로 보지 않고 숫자로 본다면 1번의 예시도 1+2=2+1과 같은 증명이고, 3번 역시 1+0=1 4번은 1+a=0이라면 결국 a=-1이라는 것이다. 즉 위의 합을 증명하는 이유는 일반 숫자와도 행과 열의 숫자가 같다면 동일하다고 증명하는 것 같다.
행렬의 스칼라 곱
A=(aij)가 mxn행렬이고 c를 임의 수라고 하면 행렬 A와 수 c의 스칼라곱 cA는 mxn 행렬이고 다음과 같이 정의한다.
cA=(caij)
즉 스칼라 곱하여 얻어지는 행렬의 크기는 mxn이고 (i, j) 행렬원소는 caij이다..
- (c+d) A=cA+dA , (c+d) A의 (i, j) 원소는 (c+d) aij=caij+daij이다.
- c(aij+bij)=cA+cB , c(aij+bij)=caij+cbij이기 때문이다.
- c(dA) = (cd) A , c(daij) = (cd) aij이다.
- 1A=A , 1 aij = aij이다.
행렬의 곱
A=(aij)가 mxp행렬이고 B=(bij)가 pxn행렬이면 A, B의 곱 AB는 mxn행렬 C=(cij)로 정의된다.
쉽게 A 3x2행렬과 B 2x3행렬을 곱하면 A의 행과 B의 열이 위정의에 p에 해당이 되어 둘 다 2로 같다 그러면 행렬의 곱이 가능하고 AB는 mxn인 3x3행렬이 된다.
- 1x3 , 3x1행렬이니 A의 행과 B의 열이 같으니 곱셈은 가능하고 행렬은 1x1이 된다.
- 3x1, 1x4행렬의 곱에서 A의 행 1과 B의 열 1이 같으니 곱셈은 가능하고 행렬은 3x4행렬이 된다.
- 2x3, 3x2 행렬의 곱에서 A의 행 3과 B의 열 3이 같으니 행렬곱이 가능하고 행렬은 2x2가 된다.
행렬의 곱은 해별의 합과 다르게 교환법칙이 성립하지 않는다. 그 이유는 위의 정에서 보는 것과 같이
AB=BA가 성립이 되기 어려운 이유는 A가 mxp행렬이고 B가 pxn 행렬이라면 AB는 p가 같지만 BA로 한다면 m≠n 같지 않기 때문이다.
- AB의 경우 행렬의 크기가 2x3과 3x1의 행렬을 곱했을 때 AB는 p의 값이 같아 2x1의 행렬이 되지만 BA의 경우 B의 행 1과 A의 열 2의 값이 되지 않기 때문에 BA는 정의할 수 없다.
- AB와 BA는 모두 각각의 행과 열의 크기가 같아서 (3,2) 행렬의 곱이 가능하지만 행렬이 크기가 AB는 2x2 BA 3x3이 된다. 이는 BA가 정의되지만 AB와 크기가 다른 경우이다. AB는 nxm행렬이고 BA는 pxp행렬이다.
- BA가 정의되고 행렬의 크기도 같지만 값이 다르다.
- BA도 정의되고 AB와 크기도 같으며 AB=BA인 경우 이다.
- 실수의 곲에서 a≠0, b≠0 ab≠0이 된다. 하지만 행렬에서는 A≠B≠O임에도 AB=O 영행렬이 되는 경우도 있다.
- 그리고 A≠O, B≠C인데도 AB=AC가 성립이 될 수 있다.
행렬 A, B, C와 임의의 수 c에 대해 행렬의 곱이 정의되는 경우 다음이 성립한다.
A(B+C)=AB+AC
(A+B) C=AC+AB
A(BC)=(AB) C
A(cB)=c(AB)=(cA) B
결국행렬은 곱하는 순서가 바뀌지 않는다면 실수의 규칙과 비슷하다고 생각된다.
- A(B+C)=AB+AC
- (A+B) C=AC+AB
- A(BC)=(AB) C
- A(cB)=c(AB)=(cA) B
- 단위행렬 I는 주대각원소가 모두 1이고 나머지는 모두 0인 정방행렬이다. 이러한 정방행렬은 항등원인 단위행렬과 정방행렬의 거듭제고입의 내용이다.
- A의 조건일 때에는 저런 규칙이 성립된다. 근데 혼자 다른 걸로 해보니 맞지는 않았지만 규칙은 있다.
행렬의 전치
행과 열을 서로 바꾸어 배치하는 것을 행렬의 전치라고 한다. 이는 역산이고 피연산자가 1개임으로 단항연산자이다.
(aT) ij=aji
- (AT) T=A 같다는 내용이다 A행렬의 전치의 전치는 A행렬이다.
- (A+B) T=AT+BT이다. AB를 더하고 전치한값과 A전치값 B의 전치값을 더한 값은 같다.
- (AB) T=BTAT이다. AB행렬의 전치와 B전치 A의 전치를 곱한 값은 같다. 이게하고 보니까 행렬의 그 수가 BA가 돼야 지맞아서 그렇게 되는 거 같다. A가 2x3이고 B가 3x2일 때 전치를 하면 그 반대가 되어 3x2 , 2x3이 되니까
- (cA) T=cAt와 같다. 실수를 곱하고 전치한값과 전치값에 실수를 곱한 것은 같다.
- AT=A인 행렬을 대칭행렬이라고 한다 이는 정방향행렬이고 aij=aji의 값이 같아야 한다. 위 예시에서 a(1,3), a(3,1)의 값은 3으로 같다.
음행렬이 뭔지 알아볼것
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